Чому важливо оцінювати складність алгоритму

Складність алгоритму – це кількісна оцінка ресурсів, необхідних для його виконання. Вона визначає, наскільки ефективно алгоритм розв’язує задачу, використовуючи ресурси комп’ютера, такі як час і пам’ять.

Розуміння цієї теми є ключовим при розробці ПЗ. Це дає змогу оцінити практичну застосовність алгоритму, оскільки швидкий алгоритм може бути більш привабливим, навіть якщо він менш точний. Крім того, це дає змогу порівнювати різні алгоритми й обирати той, що найбільше відповідає конкретному завданню, а також допомагає прогнозувати його поведінку та передбачати, як зміниться час виконання і споживання пам’яті під час збільшення обсягу даних. Нарешті, складність алгоритму слугує орієнтиром для оптимізації коду, оскільки дає змогу шукати ефективніші рішення.

Як же складність алгоритму впливає на вибір методів розв’язання задач?

Для невеликих завдань часто достатньо використовувати простий і зрозумілий алгоритм, навіть якщо його складність не є оптимальною. Однак, для великих завдань стає критично важливим використовувати алгоритми з низькою складністю. Це дає змогу знизити споживання пам’яті, а також скоротити час виконання, особливо у випадку тих, що потребують розв’язання в реальному часі.

Основні види 

Існують два основні види складності алгоритмів: часова та просторова. Часова – відображає кількість операцій або час, необхідний для виконання алгоритму залежно від розміру вхідних даних. Просторова – оцінює обсяг пам’яті, необхідний для виконання алгоритму. Вони відіграють важливу роль під час вибору ефективних алгоритмів, особливо в умовах обмеженого часу виконання та ресурсів пам’яті. Наведемо для наочності кілька прикладів…

1. Часова складність

• Завдання: знайти найбільший елемент у масиві.

Приклад алгоритму з часовою складністю O(n): лінійний пошук

def find_max_linear(arr):

    max_value = arr[0]

    for num in arr:

        if num > max_value:

            max_value = num

    return max_value

Приклад алгоритму з часовою складністю O(n*log(n)): сортування і взяття останнього елемента

def find_max_sorted(arr):

    sorted_arr = sorted(arr)

    return sorted_arr[-1]

2. Просторова складність

• Завдання: знайти середнє значення в масиві.

Приклад алгоритму з просторовою складністю O(1): ітеративне обчислення суми та ділення на кількість елементів

def find_average(arr):

    sum_value = 0

    for num in arr:

        sum_value += num

    return sum_value / len(arr)

Приклад алгоритму з просторовою складністю O(n): зберігання всіх елементів масиву в додатковій змінній

def find_average_with_storage(arr):

    return sum(arr) / len(arr)

Ці приклади ілюструють, як різні види складності алгоритмів можуть впливати на час виконання та використання пам’яті залежно від характеристик завдання та вимог до ресурсів.

Асимптотичні позначення

Асимптотичні позначення, такі як O (велике О), Ω (велике Омега) і Θ (велике Тета), є важливими інструментами в аналізі складності алгоритмів. Вони допомагають описати, як змінюється продуктивність алгоритму зі збільшенням розміру вхідних даних (на курсі “Алгоритми та структури даних” від компанії FoxmindED студенти розбирають поняття асимптотичної складності алгоритму та вчаться визначати його на прикладах, а також розбирають, чому не можна використовувати стандартне значення часу для оцінки швидкості роботи алгоритму).

Наведемо приклади використання асимптотичних позначень для оцінки алгоритмів:

1. Позначення O (велике О)

Оцінює верхню межу часової або просторової складності алгоритму. Наприклад, якщо алгоритм має часову складність O(n^2), це означає, що він виконується не швидше, ніж квадратична функція від розміру вхідних даних. У цьому прикладі ми використовуємо алгоритм сортування бульбашкою, тому що він є класичним прикладом алгоритму з квадратичною часовою складністю, що ілюструє верхню межу часової складності (O(n^2)).

array = [5, 2, 9, 1, 5]

print("Sorted array:", bubble_sort(array))

2. Позначення Ω (велике Омега)

Вказує на нижню межу складності алгоритму. Якщо часова складність алгоритму оцінюється як Ω(n), то це означає, що алгоритм не буде виконуватися повільніше, ніж лінійна функція від розміру вхідних даних. Тут ми обираємо бінарний пошук, оскільки він демонструє нижню межу часової складності (Ω(log n)), що характерно для алгоритмів із логарифмічною складністю.

sorted_array = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

target = 6

print("Index of", target, "in the array:", binary_search(sorted_array, target))

3. Позначення Θ (велике Тета)

Позначення Θ (велике Тета) використовується для визначення точної складності алгоритму в різних сценаріях, включно з найгіршим випадком, найкращим і середнім випадком, якщо вони застосовні. Наприклад, якщо часова складність алгоритму оцінюється як Θ(nlog(n)), це означає, що алгоритм виконується приблизно з тією ж швидкістю, що й зазначена функція за досить великих вхідних даних. Для ілюстрації ми можемо використовувати швидке сортування, оскільки воно показує точну складність у найгіршому випадку (Θ(n log n)), що означає, що алгоритм працює з тією самою швидкістю, що й зазначена функція.

array_to_sort = [9, 2, 5, 7, 1, 8, 4, 6]

print("Sorted array:", quick_sort(array_to_sort))

Ці приклади допомагають наочно продемонструвати застосування асимптотичних позначень для оцінки часової складності алгоритмів.

Як оцінити

Оцінка часової та просторової складності алгоритмів допомагає визначити, наскільки ефективно алгоритм працюватиме за різних обсягів даних і доступних ресурсів.

1. Оцінка часової складності

• Ідентифікуйте основні операції та визначте їхню частоту виконання залежно від розміру вхідних даних.
• Підсумуйте час виконання операцій для отримання загального часу виконання алгоритму.
• Висловіть часову складність в асимптотичній нотації. Наприклад, якщо загальний час виконання алгоритму пропорційний квадрату розміру вхідних даних, то його часова складність буде O(n^2).

2. Оцінка просторової складності

• Визначте використовувану пам’ять для зберігання даних і проміжних результатів алгоритму.
• Оцініть, як обсяг пам’яті змінюється залежно від розміру вхідних даних.
• Висловіть просторову складність в асимптотичній нотації. Наприклад, якщо обсяг пам’яті зростає лінійно або квадратично з розміром вхідних даних, то просторова складність буде відповідно O(n) або O(n^2).

Приклад розрахунку складності для простих алгоритмів:

Лінійний пошук у масиві

def linear_search(arr, target):

    for i in range(len(arr)):

        if arr[i] == target:

            return i

    return -1

# Тимчасова складність: O(n), де n – кількість елементів у масиві.

# Просторова складність: O(1), оскільки використовується тільки константна кількість додаткової пам’яті.

Класи складності алгоритмів

В інформатиці існують різні класи складності алгоритмів, які групують завдання залежно від їхньої трудомісткості:

• P – поліноміальна складність: задачі, що вирішуються за поліноміальний час. Приклади: сортування масиву, пошук у масиві, обчислення арифметичних виразів.

• NP – невизначена складність: задачі, для яких можна швидко перевірити правильність розв’язання, але саме розв’язання може займати багато часу. Приклади: задача про комівояжера, задача про рюкзак, задача про здійсненність булевої формули (SAT).

• NP-повні задачі: задачі, які є найскладнішими в класі NP і мають властивість, що будь-яка інша задача в NP може бути зведена до них за поліноміальний час. Приклади: задача про розфарбування графа, задача про здійсненність булевої формули (SAT), задача про розбиття множини.

• NP-важкі задачі: задачі, які є, щонайменше, так само складними, як найскладніші задачі в класі NP, але вони можуть бути ще складнішими. Приклади: деякі практичні завдання, чия складність перевищує NP-повноту, наприклад, деякі завдання оптимізації.

Розуміння цих класів складності допомагає розробникам і дослідникам визначити, наскільки трудомістким є завдання і які обмеження накладено на його вирішення. Це дає змогу обирати найкращі стратегії розв’язання та оцінювати продуктивність алгоритмів за різних сценаріїв використання.

FoxmindEd – це навчальний центр, що має велику різноманітність напрямків курсів для новачків та програмістів з досвідом!

Тільки починаєш свій шлях в ІТ? Спробуй курси Start

Вже маєш базові навички програмування? Тоді
курси Junior саме для тебе.

Хочеш поглибити свої знання в ІТ? Ми маємо курси Middle/Senior

Практичні приклади

Розглянемо кілька популярних алгоритмів та їхню складність:

1. Сортування

• Сортування бульбашкою: часова складність – O(n^2) у найгіршому і середньому випадку, просторова складність – O(1). Цей алгоритм неефективний для великих наборів даних, але легко реалізується і може бути корисним для невеликих наборів даних.

• Швидке сортування: часова складність – O(n*log(n)) у середньому і найкращому випадку, O(n^2) у найгіршому випадку, просторова складність – O(log(n)). Цей алгоритм зазвичай ефективніший, ніж сортування бульбашкою, особливо для великих наборів даних.

2. Пошук

• Лінійний пошук: часова складність – O(n), просторова складність – O(1). Цей алгоритм підходить для невеликих наборів даних або коли дані не відсортовані.

• Бінарний пошук: часова складність – O(log(n)), просторова складність – O(1). Цей алгоритм ефективний для відсортованих даних і ідеально підходить для пошуку у великих масивах даних.

3. Графові алгоритми

• Алгоритм пошуку в глибину (DFS): часова складність – O(V + E), де V – кількість вершин, E – кількість ребер. Просторова складність – O(V). Цей алгоритм ефективний для обходу графа в глибину і знаходження зв’язних компонент.

• Алгоритм пошуку в ширину (BFS): часова складність і просторова складність аналогічні DFS. Однак BFS зазвичай використовують для знаходження найкоротшого шляху в незваженому графі.

Поради щодо оптимізації алгоритмів з точки зору їхньої складності:

• Вивчіть вимоги задачі та характеристики даних, щоб вибрати найбільш підходящий алгоритм з найменшою часовою і просторовою складністю.
• Перевірте алгоритми на предмет зайвих операцій або повторюваних обчислень, які можуть бути усунені для підвищення продуктивності.
• Використовуйте відповідні структури даних, такі як хеш-таблиці, дерева або графи, залежно від вимог завдання, щоб скоротити час виконання алгоритмів.
• Під час реалізації алгоритмів враховуйте особливості мови програмування та оптимізуйте код для підвищення продуктивності.
• Тестуйте алгоритми на різних вхідних даних і використовуйте інструменти профілювання для виявлення вузьких місць та оптимізації коду.

Висновок

Розуміння складності алгоритмів – важливе для того, щоб стати ефективнішим програмістом і приймати оптимальні рішення під час розроблення програмного забезпечення. Це допомагає більш впевнено і грамотно аналізувати проблеми у своєму коді та знаходити найефективніші способи їхнього вирішення.

Щоб удосконалювати свої навички в цій царині, важливо продовжувати вивчати складність алгоритмів і покращувати навички їхнього аналізу. Це можна робити через читання спеціалізованої літератури, розв’язування практичних задач, участь в онлайн-курсах або вивчення матеріалів з алгоритмів і структур даних.