У чому важливість бінарного дерева в програмуванні

Бінарне дерево – це структура даних, де кожен вузол може мати до двох нащадків: лівого і правого. Воно забезпечує ефективне зберігання та організацію даних, а також спрощує реалізацію алгоритмів і операцій. Історично, бінарні дерева були розроблені для ефективного пошуку та організації інформації, починаючи зі створення бінарного пошукового дерева в 1950-х роках. З плином часу вони стали широко застосовуватися в базах даних, компіляторах, алгоритмах сортування і пошуку, комп’ютерній графіці та інших галузях інформатики (дана тема вивчається на практиці на курсі Алгоритми і структури даних від компанії FoxmindED).

Нині бінарні (двійкові) дерева залишаються однією з ключових структур даних в інформатиці, відіграючи важливу роль у розробленні програмного забезпечення та розв’язанні різних завдань.

Структура 

Бінарне дерево складається з вузлів, кожен з яких містить деякі дані та посилання на його нащадків:

• Вузли:

• комірки пам’яті, що зберігають дані (числа, рядки, об’єкти);
• можуть мати посилання на інші вузли.

• Корінь:

• верхній вузол дерева, який не має “батька”;
• від нього починається обхід дерева.

• Нащадки:

• “діти” вузла, на які він посилається;
• лівий нащадок завжди менший або дорівнює своєму “батькові”;
• правий нащадок завжди більший або дорівнює своєму “батькові”.

Для наочності представимо просте бінарне дерево:

       8

      /  \

     3   10

    / \       \

   1   6    14

       /  \     /

     4   7 13

Принцип роботи 

Основна ідея роботи двійкового дерева полягає в ефективній організації та зберіганні даних для виконання операцій, таких як пошук, вставка, видалення та обхід елементів.

Дерева працюють на основі рекурсивних алгоритмів. Для операцій над деревом, таких як пошук, вставка і видалення, застосовуються рекурсивні функції, які обробляють кожен вузол і його нащадків.

Бінарні дерева застосовуються в різних галузях програмування та інформатики. Це і бази даних, і алгоритми сортування та пошуку, і структури даних.

Типи 

Існує кілька типів двійкових дерев:

• Бінарні дерева пошуку (BST): дані впорядковано так, що елементи в лівому піддереві менші за значення вузла, а в правому – більші. Часто використовуються для швидкого пошуку елементів у базах даних.
• АВЛ-дерева: це спеціальний тип BST, де висота піддерев кожного вузла відрізняється не більше ніж на одиницю. Запобігають деградації продуктивності при великих обсягах даних.
• Червоно-чорні дерева: ще один тип самобалансуючих BST. Вузли додатково позначені червоним або чорним кольором. Широко використовуються в реалізації множин і словників.
• Є й інші типи, як-от B-дерева, B+ дерева, Splay-дерева тощо, кожен зі своїми характеристиками та застосуванням в інформатиці.

Наведемо приклади створення бінарних дерев на Python, Java і C++:

1. Бінарне дерево C ++

int main() {

    TreeNode* root = new TreeNode(1);

    root->left = new TreeNode(2);

    root->right = new TreeNode(3);

    root->left->left = new TreeNode(4);

    root->left->right = new TreeNode(5);

    return 0;

}

2. Бінарне дерево java

public class Main {

    public static void main(String[] args) {

        TreeNode root = new TreeNode(1);

        root.left = new TreeNode(2);

        root.right = new TreeNode(3);

        root.left.left = new TreeNode(4);

        root.left.right = new TreeNode(5);

    }

}

3. Бінарне дерево python

root = TreeNode(1)

root.left = TreeNode(2)

root.right = TreeNode(3)

root.left.left = TreeNode(4)

root.left.right = TreeNode(5)

Застосування 

Бінарні дерева знаходять широке застосування в реальних проєктах і завданнях;

• Бази даних: використовуються для організації індексів і швидкого пошуку даних. Наприклад, B-дерева для реляційних баз даних і B+ дерева для кластерних індексів.

• Алгоритми пошуку та сортування: застосовуються в алгоритмах бінарного пошуку та сортування, таких як сортування злиттям;

• Реальні проєкти: використовуються в СУБД (MySQL, PostgreSQL), пошукових системах, файлових системах (NTFS), компіляторах та інтерпретаторах для аналізу та зберігання програмного коду.

Бінарні дерева забезпечують ефективну організацію та обробку даних, що робить їх важливим інструментом у різних галузях інформатики та програмування.

Алгоритми 

Бінарні дерева підтримують різні операції, як-от пошук, вставка і видалення вузлів, а також обхід дерева для доступу до кожного вузла в певному порядку.

Розглянемо порядок:

• Пошук вузла: порівнюємо ключі та спускаємося деревом: ліворуч, якщо ключ менший за поточний вузол, праворуч, якщо більший. Процес повторюється до знаходження вузла або досягнення кінця дерева.
• Вставка вузла: порівнюємо ключі та вставляємо вузол у дерево, враховуючи правила порядку.
• Видалення вузла: складний процес, що включає різні випадки залежно від наявності нащадків у вузла, що видаляється.
• Обхід бінарного дерева: дає змогу відвідати кожен вузол у визначеному порядку: прямий, pre-order traversal (відвідування кореня, потім піддерев), зворотний, post-order traversal (відвідування піддерев, потім кореня), симетричний, in-order traversal (відвідування лівого піддерева, потім кореня, потім правого піддерева). Використовується для виведення відсортованих даних або виконання операцій над деревом.

Балансування 

Балансування двійкових дерев – це процес підтримки рівноваги в структурі дерева шляхом перерозподілу вузлів. Воно запобігає деградації продуктивності та збільшенню часу виконання операцій під час послідовних вставлянь і видалень вузлів.

Навіщо вона потрібна? Без неї дерева можуть стати незбалансованими, що призводить до погіршення продуктивності операцій через збільшення висоти дерева і лінійної залежності часу виконання від кількості вузлів.

Алгоритми балансування:

• АВЛ-дерева: гарантують баланс, підтримуючи різницю висот піддерев кожного вузла не більше ніж на одиницю. Використовують повороти і перебалансування піддерев під час вставки і видалення.
• Червоно-чорні дерева: дерева, що самобалансуються, де кожен вузол позначений червоним або чорним кольором. Гарантують рівну кількість чорних вузлів на шляху від кореня до листів.
• Splay-дерева: переміщують часто використовувані вузли ближче до кореня, що забезпечує хорошу продуктивність у середньому випадку.

Наведемо приклади алгоритмів балансування бінарних дерев:

• Балансування АВЛ

• Засноване на поворотах вузлів для підтримки балансу.
• Під час вставки або видалення вузла здійснюються повороти для вирівнювання висоти піддерев.

• Балансування червоно-чорного дерева

• Використовує правила фарбування вузлів і повороти для збалансованості.
• Під час змін у дереві здійснюються перефарбовування і повороти для підтримки балансу.

FoxmindEd – це навчальний центр, що має велику різноманітність напрямків курсів для новачків та програмістів з досвідом!

Тільки починаєте свій шлях в ІТ? Спробуйте курси Start

Вже маєте базові навички програмування? Тоді
курси Junior саме для вас.

Хочете поглибити свої знання в ІТ? Ми маємо курси Middle/Senior

• Балансування 2-3 дерева

• Засноване на злитті та поділі вузлів для підтримки оптимальної структури.
• За необхідності вузли об’єднуються або розділяються для збереження балансу.

Складність операцій 

Проведемо аналіз часової та просторової складності операцій у бінарних деревах:

• Пошук вузла: у збалансованих деревах, таких як АВЛ-дерева або червоно-чорні дерева, час пошуку становить O(log n), де n – кількість вузлів у дереві. У незбалансованих деревах, таких як дерева пошуку в найгіршому випадку, час пошуку може становити O(n).
• Вставка вузла: у збалансованих деревах час вставки становить O(log n), тоді як у незбалансованих – O(n).
• Видалення вузла: у збалансованих – час становить O(log n), тоді як у незбалансованих – O(n).
• Просторова складність: зазвичай становить O(n), де n – кількість вузлів у дереві, через необхідність зберігання даних і покажчиків на нащадків для кожного вузла.

Порівняємо ефективність різних типів бінарних дерев:

• АВЛ-дерева: гарантують логарифмічний час виконання операцій вставки, пошуку і видалення, але вимагають більше операцій для балансування.
• Червоно-чорні дерева: вимагають менше операцій для балансування і можуть бути ефективнішими в деяких сценаріях.
• Splay-дерева: забезпечують хорошу продуктивність у середньому випадку, але можуть мати неоптимальний час виконання в гіршому випадку для деяких операцій.

Практичні приклади та завдання

Пропонуємо короткий розбір практичного завдання:

Завдання: необхідно реалізувати бінарне дерево пошуку і виконати операції вставки та пошуку елементів.

1. Визначте клас Node, що представляє вузол бінарного дерева. У вузла повинні бути поля для зберігання значення, покажчиків на лівого і правого нащадка.

2. Визначте клас BinarySearchTree, у якому буде реалізовано методи для вставки, пошуку та інших операцій.

3. Метод вставки вузла

• Почніть із кореневого вузла.
• Якщо дерево порожнє, створіть новий вузол і зробіть його коренем.
• Якщо значення нового вузла менше значення поточного вузла, рекурсивно вставте його в ліве піддерево.
• Якщо значення нового вузла більше значення поточного вузла, рекурсивно вставте його в праве піддерево.
• Обробіть випадок, коли значення вже існує в дереві.

4. Метод пошуку вузла

• Почніть із кореневого вузла.
• Якщо значення вузла дорівнює шуканому, поверніть вузол.
• Якщо значення шуканого вузла менше значення поточного вузла, рекурсивно шукайте в лівому піддереві.
• Якщо значення шуканого вузла більше значення поточного вузла, рекурсивно шукайте в правому піддереві.
• Якщо вузол не знайдено, поверніть None.

5. Тестування

• Створіть екземпляр класу BinarySearchTree.
• Перевірте вставку кількох вузлів і переконайтеся, що вони були коректно додані.
• Проведіть пошук кількох значень і переконайтеся, що результати пошуку вірні.

6. Оптимізація (за бажанням)

• Реалізуйте методи видалення вузла, обходу дерева та інші додаткові функції залежно від вимог завдання.

Щоб потренувати навички роботи з бінарними деревами, радимо звернути увагу на такі ресурси: онлайн-курси та освітні платформи (Coursera, edX, Udacity, Codecademy, LeetCode, HackerRank), підручники та книжки (“Introduction to Algorithms”, Кормен, Лейзерсон, Рівест, Штайн, “Algorithms”, Седжвік, Вейн), онлайн-ресурси та платформи (GitHub, Stack Overflow), інтерактивні пісочниці й середовища розробки (Jupyter Notebook, Google Colab, Visual Studio Code, PyCharm).

А почати можна з онлайн-курсів Java Start, C# Start, Python Start, C++ Start на платформі FoxmindED. Консультант допоможе вам обрати оптимальний курс, виходячи з ваших прагнень у цій галузі. 

Висновок

Бінарні дерева в програмуванні відіграють важливу роль. Їхня важливість – в ефективній організації та зберіганні даних, а також у широкому спектрі застосування в різних галузях. Вивчення цієї теми відкриває перед розробниками виняткові перспективи для створення ефективних програмних рішень та алгоритмів.