🚀 Метод динамического программирования: ключевые аспекты и применение

Если вы когда-нибудь сталкивались с задачами, где требуется определить наилучшее решение на основе определенного набора ограничений, то вы, вероятно, знаете, что существует для этого метод динамического программирования. Это достаточно мощный аппарат, и с его помощью можно решать задачи различной сложности, от поиска наибольшей общей подпоследовательности до определения наиболее выгодной комбинации товаров для рюкзака. Если вы хотите научиться применять этот метод, то вам необходимо понимать, как работает аппарат динамического программирования. Все эти вопросы мы рассмотрим в данном материале.

Описание метода 

Понятие «динамическое программирование» придумал и назвал в 1940 году Ричард Беллман, а изменил и дополнил его определение — в 1953 году. Беллману пришлось много времени потратить на выбор названия, так как его босс не любил математические термины. Поэтому автор определения выбрал слово «программирование» вместо «планирования» и слово «динамическое», чтобы избежать унизительных и бранных толкований со стороны руководителя. Вот так было сформировано название «динамическое программирование».

Метод динамического программирования (ДП) является одним из основных инструментов оптимизации и решения задач в информатике, экономике, биологии и других областях. Простыми словами, динамическое программирование — это метод решения задач, который основывается на разбиении сложной задачи на множество более мелких. 

Важно учитывать следующие моменты:

1. Для эффективного применения этого подхода необходимо запоминать решения подзадач.
2. Подзадачи имеют общую структуру, что позволяет использовать однородный способ их решения, вместо того, чтобы каждую решать отдельно разными алгоритмами.

Зачем он нужен 

С помощью ДП эффективно решаются задачи по оптимизации, например, если нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции. ДП также активно применяется в задачах планирования, где нужно определить оптимальную последовательность действий.

Основные понятия

Давайте разберемся более подробно в основных понятиях метода.

• Одно из главных понятий — это оптимальная подструктура. Что же это такое? В методе динамического программирования мы решаем задачу, разбивая ее на более мелкие. Оптимальная подструктура означает, что наилучшее решение мы можем получить, если знаем оптимальные решения каждой из подзадач.

• Другое важное понятие — перекрывающиеся подзадачи. Здесь мы можем столкнуться с ситуацией, когда различные подзадачи имеют общие части. В таком случае говорят, что у нас есть перекрывающиеся подзадачи. Чтобы не решать одну и ту же задачу множество раз, мы сохраняем результаты подзадач в памяти и переиспользуем их при решении более крупных задач. Это помогает значительно ускорить процесс решения.

Например, пусть у нас есть задача о нахождении наибольшей общей подпоследовательности двух строк. Мы можем решать ее методом динамического программирования, разбив ее на более мелкие подзадачи — нахождение общей подпоследовательности для подстрок каждой из строк. В этом случае мы сталкиваемся с перекрывающимися подзадачами — общая подпоследовательность для некоторых подстрок уже может быть рассчитана ранее и сохранена в памяти. Таким образом, мы можем избежать повторных вычислений и решить задачу более эффективно.

ДП — это методология решения задач, которая представляет собой не просто формулу или алгоритм, это скорее размышления о том, как решить задачу.

• Этот подход требует разбиения задачи на более мелкие, более простые подзадачи (с входными данными меньшего размера, такими как меньшее число, массив меньшего размера или меньшее количество настраиваемых параметров).
• Решения более мелких подзадач могут быть использованы для решения большой исходной задачи. Примером может служить вычисление чисел Фибоначчи.
• При этом важно эффективно использовать решения подзадач, например, запоминая их, а также использовать однородный способ решения для всех подзадач, если они имеют общую структуру.

Алгоритм метода динамического программирования

Алгоритм метода динамического программирования состоит из нескольких шагов:

• Определение структуры оптимизационной задачи. Необходимо определить, какие параметры задачи являются переменными, какие являются константами, какие ограничения существуют на переменные.
• Формулировка рекурсивной формулы. Необходимо выразить решение задачи через решения более мелких подзадач. Рекурсивная формула должна быть корректной и обладать свойством оптимальной подструктуры.
• Создание таблицы для хранения результатов подзадач. Необходимо создать таблицу, где в каждой ячейке будет храниться оптимальное решение для соответствующей подзадачи.
• Заполнение таблицы. Необходимо заполнить таблицу, начиная с наименьших подзадач и постепенно переходя к более крупным. При заполнении таблицы используется рекурсивная формула.
• Получение решения исходной задачи. Решение исходной задачи находится в последней ячейке таблицы.

Алгоритм метода ДП может быть применен к широкому спектру задач, включая задачи нахождения кратчайшего пути в графе, оптимального расписания работ, нахождения максимального потока в сети и другие. Он обладает рядом преимуществ, но также имеет недостатки и требует достаточно большого объема памяти для хранения результатов подзадач.

Примеры применения метода

Рассмотрим два примера применения этой техники программирования.

Числа Фибоначчи

Одним из наиболее известных примеров использования метода динамического программирования может быть расчет чисел Фибоначчи. Для вычисления любого числа в последовательности нам необходимо сначала вычислить два предыдущих числа и сложить их. Таким образом, для вычисления каждого последующего числа мы используем результаты предыдущих вычислений. Хотя для вычисления чисел Фибоначчи есть и замкнутая формула.

Допустим, у вас есть набор чисел и вам нужно найти максимальную сумму, которую можно получить выбрав некоторые из них, при условии, что выбранные числа не должны стоять рядом друг с другом. Например, для набора чисел [1, 2, 3, 1] максимальная сумма будет равна 4 (выбираем числа 1 и 3).

Это может показаться сложным, но такой подход позволяет решать задачи оптимальным способом и часто используется в алгоритмах обработки изображений, обработки естественного языка, игровых приложениях и других областях.

Возьмем практический пример на языке Python:

def max_sum_sequence(nums):

    n = len(nums)

    if n == 0:

        return 0

    if n == 1:

        return nums[0]

    # Вычисляем максимальную сумму для каждого элемента

    dp = [0] * n

    dp[0] = nums[0]

    dp[1] = max(nums[0], nums[1])

    for i in range(2, n):

        dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])

    # Возвращаем максимальную сумму для последнего элемента

    return dp[-1]

Функция max_sum_sequence принимает список nums, содержащий числа, и возвращает максимальную сумму подпоследовательности. Вначале мы проверяем длину списка, если он пуст, то возвращаем 0, а если он содержит только один элемент, то возвращаем его значение. Затем мы создаем массив dp, в котором будем хранить максимальную сумму для каждого элемента списка. Для первого элемента максимальная сумма равна самому элементу, а для второго элемента максимальная сумма равна максимальному значению из двух первых элементов. Далее мы перебираем оставшиеся элементы списка, и для каждого элемента вычисляем максимальную сумму, которую можно получить, если выбрать элементы только из этого элемента и всех элементов, предшествующих ему, но не из его соседей. Для этого мы используем формулу dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i]), где dp[i-1] — максимальная сумма до предыдущего элемента, а dp[i-2] + nums[i] — максимальная сумма до текущего элемента, если мы не выбрали предыдущий элемент. Наконец, мы возвращаем максимальную сумму для последнего элемента списка, что и дает нам ответ на исходную задачу.

Стоимость рюкзака

Еще одним примером использования метода ДП может быть расчет стоимости рюкзака. 

Допустим, у вас есть рюкзак и набор предметов с определенными весами и стоимостями. Вам нужно заполнить рюкзак таким образом, чтобы максимизировать стоимость выбранных предметов, не превышая вместимость рюкзака.

Для решения этой задачи мы можем использовать таблицу заполнения. В каждой ячейке таблицы будет храниться максимальная стоимость, которую мы можем получить, используя только первые i предметов и имея рюкзак вместимости не более j.

Формула для заполнения таблицы будет выглядеть следующим образом:

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i])

где f[i][j] — максимальная стоимость, которую можно получить среди первых i предметов, используя рюкзак вместимости не более j, w[i] и v[i] — вес и стоимость i-го предмета.

Суть этой формулы заключается в том, что для каждого предмета мы можем решить две подзадачи: добавить его в рюкзак или не добавлять. Если мы не добавляем предмет, то максимальная стоимость будет равна максимальной стоимости среди первых i-1 предметов и рюкзака вместимости j. Если мы добавляем предмет, то максимальная стоимость будет равна сумме стоимости этого предмета и максимальной стоимости среди первых i-1 предметов и рюкзака вместимости j-вес[i].

В результате заполнения таблицы, ответом на исходную задачу будет максимальная стоимость среди первых n предметов и рюкзака вместимости не более W, где n — количество предметов, W — вместимость рюкзака.

Например, для набора предметов с весами [3, 4, 5] и стоимостями [4, 5, 6] и рюкзака вместимости 8, таблица заполнения будет выглядеть так:

Максимальная стоимость рюкзака для этого набора предметов и вместимости 8 равна 9.

Все эти примеры демонстрируют эффективность и универсальность метода ДП в решении различных задач. 

Преимущества и недостатки 

Как и любой другой алгоритм, метод он имеет свои преимущества и недостатки. Рассмотрим их более подробно.

Преимущества:

• Эффективность: ДП может быть очень эффективным для решения задач, которые могут быть разбиты на подзадачи и где оптимальное решение каждой подзадачи может быть вычислено только один раз.

• Гибкость: может быть применен к широкому спектру задач (нахождения кратчайшего пути в графе, задачи оптимального расписания и многие другие).

• Точность: в отличие от алгоритмов, которые принимают локально оптимальные решения, ДП может гарантировать глобально оптимальное решение.

Недостатки:

• Высокая сложность: ДП может иметь высокую вычислительную сложность, особенно если исходная задача очень сложна и может быть разбита на множество подзадач.

• Потребность в большом объеме памяти: необходимо хранить в памяти значения для всех подзадач, что может привести к большому потреблению памяти.

• Необходимость определенной структуры задачи: ДП может быть неэффективным или неприменимым, если исходную задачу не разбить на подзадачи или если их решения невозможно эффективно комбинировать для получения решения исходной.

Итог

В будущем, метод динамического программирования будет продолжать использоваться в различных областях, таких как финансы, производство, транспорт и многих других, для решения сложных задач оптимизации. Однако, необходимо продолжать исследования в области разработки новых алгоритмов, которые будут более эффективны и универсальны для решения различных задач.